17 Equações que mudaram o mundo

Certamente, as equações podem inicialmente parecer áridas e complexas, mas essa percepção muitas vezes decorre da maneira como são apresentadas: monotonamente e sem contexto. Meu objetivo não é apenas ensinar a fazer cálculos, mas sim destacar a beleza e a importância subjacentes a elas, independentemente de saber como resolvê-las. A chave está em situá-las em seu contexto cultural e humano, desvendando os véus que ocultam seus efeitos na história. As equações são mais do que meros símbolos matemáticos; são expressões vitais de nossa cultura e conhecimento. Explorar as histórias por trás delas — as pessoas que as descobriram ou inventaram e os períodos em que viveram — revela uma fascinante tapeçaria de ideias e descobertas. Muitas das tecnologias que hoje consideramos fundamentais não teriam sido possíveis sem o insight proporcionado por algumas dessas equações, um fato que se tornará evidente à medida que explorarmos mais adiante.

1. Pythagorean Theorem — (Pythagoras, 530 a.C)

O Teorema de Pitágoras nos diz como os três lados de um triângulo de ângulo reto estão relacionados. Ele fornece uma ligação vital entre geometria e álgebra, permitindo-nos calcular distâncias em termos de coordenadas. Também inspirou a trigonometria. Isso levou à pesquisa, navegação e, mais recentemente, à relatividade especial e geral — as melhores teorias atuais de espaço, tempo e gravidade.

2. Logarithms — (John Napier, 1610)

Esta fórmula de logaritmo nos diz para multiplicar números adicionando números relacionados. Podemos ver que a adição é muito mais simples do que a multiplicação. Essa fórmula nos levou a métodos eficientes para calcular fenômenos astronômicos, como eclipses e órbitas planetárias, e maneiras rápidas de realizar cálculos científicos. É literalmente o fiel companheiro dos engenheiros.

3. Definition Of Derivative — (Newton, 1668)

A definição de derivada diz como encontrar a taxa instantânea de mudança de uma quantidade que varia com o (conte) tempo, calcular como seu valor muda em um curto intervalo de tempo e dividir pelo tempo em questão. Então deixe esse intervalo se tornar arbitrariamente pequeno. Ele fornece uma base rigorosa para o cálculo e a principal maneira como os cientistas modelam o mundo natural. Isso levou ao cálculo de tangentes e áreas, fórmulas para volumes de sólidos e comprimentos de curvas, leis de movimento de Newton, equações diferenciais, leis de conservação de energia e momento.

4. Newton’s Law of Gravity — (Newton, 1687)

A lei da gravidade de Newton determina a força da atração gravitacional entre dois corpos em relação às suas massas e à distância entre eles. Pode ser aplicado a qualquer sistema de corpos interagindo através da força da gravidade, como o sistema solar. Isso nos diz que o movimento deles é determinado por uma simples lei matemática. A lei da gravidade de Newton nos levou a prever com precisão eclipses, órbitas planetárias, o retorno de cometas, a rotação de galáxias, satélites artificiais, levantamentos da Terra, o telescópio Hubble, observações de explosões solares e o sistema de posicionamento global (GPS).

5. The Square Root of Minus One — (Euler, 1750)

Mesmo que deva ser impossível, o quadrado do número i é menos um. Essa fórmula nos levou a criar números complexos, o que levou à análise complexa, uma das áreas mais poderosas da matemática. Com a ajuda de números complexos, os matemáticos melhoraram os métodos para calcular tabelas trigonométricas, encontraram métodos mais poderosos para entender ondas, calor, eletricidade e magnetismo, e a base matemática da mecânica quântica.

6. Euler’s Formula for Polyhedra — (Euler, 1751)

A fórmula de Euler para poliedros diz que os números de faces, bordas e vértices de um sólido não são independentes, mas estão relacionados de maneira simples. Esta fórmula distingue entre sólidos com diferentes topologias usando o exemplo mais antigo de um invariante topológico. E abriu o caminho para técnicas mais gerais e mais poderosas, criando um novo ramo da matemática. A fórmula de Euler para poliedros nos levou a uma das áreas mais importantes e poderosas da matemática pura: a topologia, que estuda propriedades geométricas inalteradas por deformações contínuas, como superfícies, nós e ligações. Além disso, nos ajuda a entender como as enzimas agem no DNA em uma célula e por que o movimento dos corpos celestes pode ser caótico.

7. Normal Distribution — (C.F. Gauss, 1810)

A distribuição normal diz que a probabilidade de observar um determinado valor de dados é maior perto do valor médio — a média — e diminui rapidamente à medida que a diferença da média aumenta. Esta fórmula define uma família especial de distribuições de probabilidade em forma de sino, muitas vezes bons modelos de observações cotidianas do mundo real. A distribuição normal levou ao conceito de “médio”, testes da significância dos resultados experimentais, como ensaios médicos, e uma tendência infeliz de se a padrão da curva do sino como se nada mais existisse.

8. Wave Equation — (J. d’ Almbert, 1746)

A fórmula da equação de onda diz que a aceleração de um pequeno segmento de uma corda de violino é proporcional ao deslocamento médio dos segmentos vizinhos. Esta fórmula prevê que a corda se moverá em ondas, e generaliza naturalmente para outros sistemas físicos em que as ondas ocorrem. A equação de onda nos levou a avanços significativos na compreensão da água, som, luz e vibrações elásticas. Por exemplo, os sismólogos usam versões modificadas dele para deduzir a estrutura do interior da Terra a partir de como ele vibra. As companhias de petróleo usam métodos semelhantes para encontrar petróleo.

9. Fourier Transform — (J. Fourier, 1822)

A transformada de Fourier diz que qualquer padrão no espaço e no tempo pode ser considerado uma sobreposição de padrões sinusoidais com diferentes frequências. Esta fórmula é importante porque as frequências dos componentes podem ser usadas para analisar os padrões, criá-los por ordem, extrair recursos importantes e remover ruídos aleatórios. A transformada de Fourier nos levou ao processamento de imagens e à mecânica quântica. Também nos ajudou a estruturar grandes moléculas biológicas como DNA, fazer compressão de imagem em fotografia digital, limpar gravações de áudio antigas ou danificadas, analisar terremotos.

10. Navier-Stokes — (C. Navier, G. Stokes, 1845)

Navier-Stokes é, na verdade, a segunda lei do movimento disfarçada de Newton. O lado esquerdo é a aceleração de uma pequena região fluida, e o lado direito são as forças que atuam sobre ela: pressão, estresse e forças internas do corpo. Esta fórmula fornece uma maneira realmente precisa de calcular como os fluidos se movem, e é uma característica fundamental de inúmeros problemas científicos e tecnológicos. Navier-Stokes nos levou a jatos de passageiros modernos, submarinos rápidos e silenciosos, carros de corrida de Fórmula 1 que permanecem na pista em alta velocidade e avanços médicos no fluxo sanguíneo em veias e artérias.

11. Maxwell’s Equations — (J.C. Maxwell, 1865)

As equações de Maxwell dizem que a eletricidade e o magnetismo não podem simplesmente vazar. Uma região giratória do campo elétrico cria um campo magnético em ângulo reto com o spin. Uma região giratória do campo magnético cria um campo elétrico em ângulos retos com o spin, mas na direção oposta. Foi a primeira grande unificação das forças físicas, mostrando que a eletricidade e o magnetismo estão intimamente inter-relacionados. As equações de Maxwell nos levaram a prever que as ondas eletromagnéticas existem, viajando à velocidade da luz, de modo que a própria luz é uma dessas ondas. Isso motivou a invenção do rádio, radar, televisão, conexões sem fio para equipamentos de informática e comunicações mais modernas.

12. Second Law of Thermodynamics — (L. Boltzmann, 1874)

A segunda lei da termodinâmica diz que a quantidade de desordem em um sistema termodinâmico sempre aumenta. Ele coloca limites sobre o quanto dizer que o trabalho útil pode ser extraído do calor. A segunda lei da termodinâmica nos levou a melhores máquinas a vapor, estimativas da eficiência da energia renovável, o cenário de “morte térmica do universo”, prova de que a matéria é feita de átomos e conexões paradoxais com a seta do tempo.

13. Relativity — (Einstein, 1905)

A fórmula da relatividade de Einstein diz que a matéria contém energia igual à sua massa multiplicada pelo quadrado da velocidade da luz. Uma vez que a velocidade da luz é enorme e seu quadrado é absolutamente enorme. Um quilograma de matéria liberaria cerca de 40% da energia da maior arma nuclear já explodida. É parte de um pacote de equações que mudaram nossa visão do espaço, tempo, matéria e gravidade. A fórmula da relatividade de Einstein nos levou a uma nova física radical, como armas nucleares, buracos negros, o Big Bang, GPS, etc.

14. Schrödinger’s Equation — (E. Schrödinger, 1927)

A equação de Schrödinger diz que a equação modela a matéria não como uma partícula, mas como uma onda e descreve como tal onda se propaga. A equação de Schrödinger é fundamental para a mecânica quântica, que, juntamente com a relatividade geral, constitui as teorias mais eficazes do universo físico de hoje. Isso nos levou a uma revisão radical da física em escalas muito pequenas, na qual cada objeto tem uma “função de onda” que descreve uma nuvem de probabilidade de estados possíveis. Neste nível, o mundo é inerentemente incerto. As tentativas de relacionar o mundo quântico microscópico com o nosso mundo clássico macroscópico levaram a questões filosóficas que ainda reverberam. Mas, experimentalmente, a teoria quântica funciona lindamente, e os chips de computador e lasers de hoje não funcionariam sem ela.

15. Information Theory — (C. Shannon, 1949)

A teoria da informação define quanta informação uma mensagem contém sobre as probabilidades com as quais os símbolos que a compõem são susceptíveis de ocorrer. Inaugurou a era da informação. Ele estabeleceu limites na eficiência das comunicações, permitindo que os engenheiros parassem de procurar códigos que eram eficazes demais para existir. É básico para as comunicações digitais de hoje — telefones, CDs, DVDs, a Internet. A teoria da informação nos levou a códigos eficientes de detecção e correção de erros, usados em tudo, desde CDs até sondas espaciais. As aplicações incluem estatística, inteligência artificial, criptografia e extração de significado de sequências de DNA.

16. Chaos Theory — (Robert Mary, 1975)

A teoria do caos modela como uma população de seres vivos muda de uma geração para a seguinte, quando há limites para os recursos disponíveis. É uma das equações mais simples que podem gerar caos determinístico — aparentemente um comportamento aleatório sem causa aleatória. A teoria do caos nos levou a perceber que equações não-lineares simples podem criar dinâmicas muito complexas e que a aleatoriedade aparente pode esconder a ordem oculta. Popularmente conhecida como Teoria do Caos, esta descoberta tem inúmeras aplicações, incluindo o movimento dos planetas no sistema solar, previsão do tempo, dinâmica populacional em ecologia, estrelas variáveis, modelagem de terremotos e trajetórias eficientes para sondas espaciais.

17. Black-Scholes Equation — (F. Black, M. Scholes, 1990)

A equação de Black-Scholes diz que como o preço do derivativo financeiro muda ao longo do tempo, com base no princípio de que, quando o custo está correto, o derivativo não traz risco, e ninguém pode lucrar vendendo-o a um preço diferente. Você pode negociar um derivativo antes que ele amadureça, atribuindo-lhe um valor “racional” acordado para que ele se torne uma mercadoria virtual por direito próprio. A equação de Black-Scholes nos levou ao crescimento maciço do setor financeiro, instrumentos financeiros cada vez mais complexos, surtos de prosperidade econômica pontuados por quebras, os turbulentos mercados de ações da década de 1990, a crise financeira de 2008–9 e a recessão econômica em curso.